發布時間:2023-10-05 10:22:48
序言:作為思想的載體和知識的探索者,寫作是一種獨特的藝術,我們為您準備了不同風格的5篇彈性函數的經濟學意義,期待它們能激發您的靈感。
許鳳嬌(1989-),女,漢族,安徽池州人,金融碩士,單位:南京財經大學金融學院,研究方向:商業銀行經營管理。
摘要:在宏觀經濟學和經濟增長理論中, CES生產函數得到了越來越多的應用。本文對普遍運用的CES函數進行了標準化。Klump和Grandville提供了在可獲得必要參數的情況下,對CES生產函數參數校準的一種簡單方法。標準CES生產函數的運用存在一些誤區,本文列舉了正確的用法。
關鍵詞:CES生產函數;替代彈性;標準化
1.引言
近年來,CES生產函數獲得了宏觀經濟學和增長經濟學更多的應用。CES函數是柯布-道格拉斯生產函數最為普遍的替代選項,并且可以處理比C-D函數應用范圍更為廣泛的問題。但是,并不總是能夠明確確定特定選擇的CES函數參數或者檢驗他們的含義。Klump和Grandville(2000)注意到了這個問題,并且概述了明確“標準化”這個生產函數的步驟。
盡管CES生產函數看起來簡單明了,但是數學上的簡單形式是具有欺騙性的。Klump和La Grandville強調過,應當小心對待CES生產函數的經濟解釋。他們特別指出對于分析理論結果為不同的替代彈性時使用“標準”CES函數,替代彈性的變化只能由標準化來分離出來。標準CES生產函數已經被多位學者應用于理論研究,而且這些理論研究成果已經被學者用來作為實證分析的框架。Klump對這項工作的大部分進行了研究,提供了進一步的資料并使得相關文獻更為廣泛的應用。這些論文發展或重新解釋了標準化這一概念。
2.標準化
闡述基本問題的最簡單方法就是設想兩個公司的生產率比較,它們的生產函數分別是AF(K, L)和BG(K, L)。由于生產技術不同,直接比較A和B的相對大小的經濟意義是有限的。兩家公司規模的不同,使得采用數學的對稱性會誤導經濟內容的比較。
如果允許替代彈性變化,就相當于把方程從F(K, L)變為另一個方程G(K, L)。這就引出了這樣一個問題,其他技術參數是否保持和之前一樣的經濟解釋,還有當保持其他參數不變時,變化的替代彈性在經濟方面的含義是什么。
為簡單起見,假定只有兩個輸入量資本和勞動,規模報酬不變的情況下進行討論。
最簡單的標準化解釋是把資本和勞動輸入量看作指數,那樣可以與任意選擇的基準價值進行比較。ACMS形式可以被視為函數的標準化,因此分布參數b就是資本-勞動比一致時的資本份額。從這個意義上,標準化是不可避免的。給定的參數使得標準化得以明確,在理論分析中,能幫助區分獨立于其他參數變化的替代彈性的變化。默認假設能夠進行這種區分的想法可能是不正確的。
分布參數不能用來獨立定義資本和勞動的度量單位。如果想研究不同替代參數的影響,會遇到用任意基準資本-勞動比來標準化函數的問題,而且這樣的任意選擇會影響變化替代彈性如何改變生產面的表現形式。
在經濟學中,“標準化”這個術語經常用于一個系統或者模型的特定參數或數量是不變的正式性質的情況下?;鶞寿Y本-勞動比的選擇將決定生產率如何隨替代彈性的增加而變動。如果經濟處在基準位置附近,彈性的變動對生產率的影響將很小。由于前面的原因,選擇某一個標準化或基準資本-勞動比能被看作比其他的更縝密和自然,是毫無意義的。這意味著,無法確定替代彈性改變的影響程度,有時甚至連符號都不能確定。我們采用特定數量或參數的水平是任意的且能自由選擇的觀點。
3.標準化的使用
考慮這樣一個問題,研究一個傳統動態增長模型,其包含以ACMS形式寫的CES生產函數。研究者該如何選擇分布參數b?一般來說,這是被用來解釋為當替代彈性不變時的資本份額。當資本-勞動比不變時,ACMS的分布參數可以解釋為資本份額。
當研究者有多個要素份額和要素比率的觀察值時,就可以用標準方法分析數據,估算出分布和替代參數。當分布和替代參數被視為數據估算的固定常量是,就不存在標準化問題。
在實證研究和政策模擬中,CES生產函數的標準化形式相對于其他形式有時候是有用的,盡管益處有時是適度的。標準化避免估計分布參數,而是需要用資本份額的觀察值估計技術是一致的(至少是平均水平上)。在其最簡單的形式中,這個過程需要額外假設邊際生產率要素定價和利潤最大化。從嚴格的計量經濟學角度來看,學者建議的方法所獲得的好處并不是主要來自標準化,而是來自強加一個參數而非去估計它,額外的假設能對參數加以限制。
Klump和La Grandville認為選擇的替代彈性,TFP參數和分布參數最好看作相互依賴的。如果研究者模擬一個增長模型是改變了替代彈性,他也應該改變TFP和分布參數。他們的建議是把TFP參數和分布參數表達為替代彈性的函數,那樣隨著彈性的改變,生產函數在一個特定的資本-勞動比上總是服從相同的人均產量和邊際技術替代率。換句話說,這個過程迫使不同替代彈性的生產面沿著特定線K=k0L相切,其中k0是資本-勞動比的基線。
4.結論
最近發表的各種論文已經注意到了CES技術的潛在重要性。他們的研究也表明,當研究者用CES技術研究或校準模型時,保持分布參數固定,同時改變替代彈性是有負面影響的。以這種方式進行,意味著資本份額的變化適用于特定的資本產出比。當特定資本產出比上的資本份額數據是可得的,用和數據保持一致的方式校準CES生產函數是有意義的,因為替代彈性是變化的。特別是,Klump和La Grandville建議的方法,能以最自然的方式校準分布參數。他們的步驟也承認,如果一個技術參數改變,其他參數的意義也會改變。這些對我們理解CES技術都是有用的,對未來的文獻應該會有顯著的影響。(作者單位:南京財經大學)
參考文獻:
關鍵詞:邊際分析 彈性分析 課堂設計
中圖分類號:G642 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3791(2017)02(b)-0193-02
18世紀全世界數學史取得最大突破的時期,從傳統常量數學轉移到變量數學,誕生了微積分這一數學史上最輝煌的學術。并且很快被應用在各個學科領域,比如:經濟學家把微積分學術去思考困擾他們多的的經濟學的難題,并取得了輝煌成就。在19世紀中后期相關經濟學專家把微積分的基礎概念和效用概念結合到一起,從而誕生了邊際效用,后期經濟學家把此次經濟學改革命名為“邊際革命”。致使微積分的思想和概念,逐漸滲透到經濟學的方方面面。
在邊際分析和彈性分析的教學課堂中,教師要注重啟發學生對邊際分析和彈性分析概念的理解和認識,讓學生從本質上理解和掌握邊際分析和彈性分析,避免死記硬背。該文通過查詢大量文獻,并結合理論實踐,深入分析和探討了邊際分析和是彈性分析的思想、步驟,從而提高課堂設計的合理性和有效性。
1 教學設計
1.1 邊際分析法產生的歷史背景――課程引入
在教學設計中,要首先介紹邊際分析法的歷史由來,在邊際革命推行的后期,分析邊際方法的發展方向;其次,由于邊際分析是在微積分的基礎概念上引進而來,所以在具體教學過程中,要把微積分思想落實到每位的學生身上;最后,分析邊際分析法在經濟學領域中的具體應用。
除此之外,要通過探究式教學讓學生掌握數學的發展史,同時把科學家研究邊際分析和彈性分析艱苦過程的進行介紹,提高學生不怕困難勇于探索的學習精神。
1.2 提出引例,引導學生建立數學模型――重點的引入
提出是否增加航班問題的引例。要求學生思考,假如你是一個航空公司經理,長假來臨,你想Q定是否增加新的航班,如果純粹是從財務角度出發,你該如何決策。換句話說,如果該航班能給公司掙錢,則應該增加。因此,你需要考慮有關的成本和收入,關鍵是增加航班的附加成本是大于還是小于該航班所產生的附加收入,這種附加成本和收入稱為邊際成本和邊際收益。
聯系數學建模,引導學生建立模型,并要求學生展開分組討論,并由小組代表描述建立數學模型的過程。
最后由教師總結歸納,詳細并逐步講解、得出相應模型:
我們所面對的學生,在數學課程的學習中,其形象思維、小組合作以的實踐能力毫不遜色于本科程度的學生。以上通過“提出問題、分組討論、小組代表回答、教師總結歸納”這一師生互動過程來引入該次課程的內容:邊際分析。此做法源于著名的教育心理學家桑代克的“變化引起注意”一法,通過不斷變換教學手段,讓學生充分參與、親自體驗理論的歸納過程。
1.3 邊際經濟函數(邊際成本函數、邊際利潤函數)的定義――重點的介紹
介紹邊際成本函數、邊際收益函數、邊際利潤函數的定義。
并通過舉例講解,引導學生學會利用所學知識解決實際經濟問題。
例題1:設某產品的需求函數為:p= 20-q/5,其中p 為價格,q 為銷售量,求邊際收益函數,以及q= 20、50、70時的邊際收益,并說明其經濟意義。并由該例題引導學生思考在經濟活動中,如何根據經濟函數求最大的利潤點?
1.4 最大利潤原則的介紹
設總收益函數R(q)、總成本函數C(q)和總利潤函數L(q)均為可導函數。提問學生取得最大利潤的充分條件、必要條件。并歸納總結:取得最大利潤的必要條件是:邊際收益等于邊際成本。取得最大利潤的充分條件是:邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。
課堂練習,并要求學生板演:
練習1:某工廠生產的某種產品,固定成本為400萬元,多生產一個單位產品成本增加10萬元,設該產品產銷平衡,且需求函數為q=1000-50p(q為產量,p為價格),問該廠生產多少單位產品時,可獲得最大利潤?最大利潤是多少?并驗證是否符合最大利潤原則。
1.5 彈性分析的介紹――重、難點的突出
引導學生思考:在邊際分析中,我們討論的函數變化率與函數改變量均屬于絕對數范圍內的問題,是否僅僅使用絕對數的概念就能深入分析所有的問題呢?例如:甲商品的單價是10元,乙商品的單價是100元。若甲、乙商品都漲價1元,兩種商品單價的絕對改變量都是1元,但是漲幅不同,甲商品的漲幅為10%,乙商品的漲幅為1%,顯然甲商品的漲幅比乙商品的漲幅大,這就說明,我們僅有絕對變化率的概念還很不夠,因此,有必要研究函數的相對改變量和相對變化率,而這就是彈性分析的內容。
設市場上某商品的需求量q是價格p的函數,即q=q(p)。當價格p在某處取得增量p時,需求量相應地取得增量q,稱p與q為絕對增量,
如果需求函數q=q(p)可導,且當p0時,極限存在,
稱價格為p時,需求量對價格的彈性,簡稱為需求彈性,
根據經濟理論,需求函數是單調減少函數,所以需求彈性一般取負值。
需求彈性的經濟意義是:當價格P在某處改變1%時,需求改變
引導學生平行推廣,對成本函數、收益函數、供給函數分別進行彈性分析,得出成本彈性、收入彈性。
講解例題2:設某商品的需求函數為:求:p = 3,p = 5時的需求彈性,并說明其經濟意義。
課堂練習,并要求學生板演:
練習2:已知某產品的供給函數為F(p)= ―2 + 2 p ,求價格 p = 5時的供給價格彈性,并說明其經濟意義。
1.6 總結――再次圍繞重難點
完成了每節課的教學內容后,在教師的引導下,師生共同歸納總結,目的是讓學生在頭腦中更深刻更清晰地留下思維的痕跡,調動學生的學習積極性和主動參與意識,符合教學論中的繼發性原則。
先讓小組代表進行總結,并由其余組員進行補充。
(1)邊際分析:
①邊際分析的定義。
②常用的邊際函數及其經濟意義。
(2)最大利潤原則:
取得最大利潤的必要條件:邊際收益等于邊際成本。
取得最大利潤的充分條件是:邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。
(3)彈性分析:
①彈性的定義。
②常用的彈性及其經濟意義。
歸根結底,該堂課重點是邊際分析、彈性分析在經濟中的應用,難點是彈性分析的應用。
1.7 作業
作業是課堂教學中不可缺少的環節,配合每次課的教學內容,布置相應的作業,通過作業反饋本節課知識掌握的情況,以便下節課查漏補缺,這符合教學論中的程序原則和反饋原則。
2 結語
該章節內容,通過這樣的教學設計方式,通過創設情境,實例引出問題,以思路為引線,進行基本概念、理論、方法、應用等內容的介紹與闡述,處理抽象的數學概念;調動學生的學習、思考的主動性與積極性,并通過啟發,引導學生進行聯想、類比和推理。對成本函數、收入函數分別進行彈性分析,得出成本彈性、收入彈性。通過小組合作學習,讓學生分工合作共同達成學習目標。該節課在課堂活動中把學生分成6人一小組的學習小組,讓他們圍繞著課堂任務分工合作,發展他們的F隊協作能力;通過小組間比賽,提高學生的合作和競爭能力。促使學生學會體驗實踐、參與合作與交流的學習方式。這種學法將更有利于發展學生的實際運用能力,使數學學習的過程成為學生形成積極的情感態度、主動思維和大膽實踐的過程。使學生掌握邊際分析、彈性分析的基本概念,使學生加深對課堂教學內容的理解,提高分析和解決問題的能力,使學生在學習知識的同時注意與實際生活相結合,學以致用。
參考文獻
【關鍵詞】導數邊際分析彈性分析最優化分析
一個企業或者一個商店最關心的是如何以最小成本達到利潤最大。經濟學中常用到邊際概念分析一個變量y關于另一個變量x的變化情況。邊際概念是當x在某一給定值的附近發生微小變化時y的變化情況,它發映了y的瞬間的變化,而刻畫這種瞬間微小變化的數學工具便是導數。
一、導數的概念
設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,當自變量x在點x0處取得增量Δx(點x0+Δx仍在該鄰域內)時,相應地函數y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy與Δx之比當Δx0時的極限存在,則稱函數y=f(x)在點x0處可導,并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數,記為f'(x0),即
f'(x0)==。
若函數y=f(x)在某區間內每一點都可導,則稱y=f(x)在該區間內可導,記f'(x)為y=f(x)在該區間內的可導函數(簡稱導數)。
二、經濟分析中常用的函數
1、需求函數與供給函數
(1)需求函數。設Q表示某種商品的需求量,P表示此種商品的價格,則用Q=f(P)表示對某種商品的需求函數。一般來說,對某種商品的需求量Q隨價格減少而增加,隨價格增加而減少,所以需求函數是單調減少的函數。
(2)供給函數。站在賣方的立場上,設Q表示對某種商品的供給量,P表示此種商品的價格,則用Q=F(P)表示某種商品的供給函數。一般來說,作為賣方,對某種商品的供給量Q是隨價格P的增加而增加,隨價格P的減少而減少,所以供給函數是單調增加的函數。
2、成本函數與平均成本函數
(1)成本函數。產品的成本一般有兩類:一類隨產品的數量變化,如需要的勞動力,消耗的原料等;這種生產成本稱為可變成本。另一類成本無論生產水平如何都固定不變,如房屋、設備的折舊費、保險費等,稱為固定成本。設Q為某種產品的產量,C為生產此種產品的成本,生產每個單位產品的成本為a,固定成本為C0,則成本函數為C=C(Q)=aQ+C0。
(2)平均成本函數。用C=C(Q)=表示每單位的平均成本函數。
3、價格函數、收入函數和利潤函數
(1)價格函數。在廠商理論中,強調的是既定需求下的價格。在這種情況下,價格是需求量的函數,表示為P=P(Q)。要注意的是需求函數Q=f(P)與價格函數P=P(Q)是互為反函數的關系。
(2)收入函數。在商業活動中,一定時期內的收益,就是指商品售出后的收入,記為R。因此,收入函數為R=R(Q)=PQ。其中Q表示銷售量,P表示價格。
(3)利潤函數。利潤是指收入扣除成本后的剩余部分,記為L。則L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示產品的的數量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。
三、導數的經濟學意義及其在經濟分析中的應用
1、邊際分析
邊際概念是經濟學中的一個重要概念,通常指經濟變量的變化率。利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法,即邊際分析方法,是經濟理論中的一個重要分析方法。
一般地,設函數y=f(x)可導,則導數f'(x)叫做邊際函數。成本函數C=C(Q)的導數C'(Q)叫做邊際成本,其經濟意義為當產量為Q時再生產一個單位的產品所增加的總成本;收入函數R=R(Q)的導數R'(Q)叫做邊際收入,其經濟意義為當銷售量為Q時再多銷售一個單位產品所增加的銷售總收入;利潤函數L=L(Q)的導數L'(Q)叫做邊際利潤,其經濟意義近似等于產量(或銷售量)為Q時再多生產(或多銷售)一個單位產品所增加(或減少)的利潤。
例如:某企業每月生產的總成本C(千元)是產量Q(噸)的函數C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元,求每月生產8噸、10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。
解:因為利潤函數為:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以邊際利潤為L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q
+30。于是L'(8)=-2×8+30=14(千元/噸),L'(10)=-2×10+30=10(千元/噸),L'(15)=-2×15+30=0(千元/噸),L'(20)=-2×20+30=-10(千元/噸)。
以上結果表明:當月產量為8噸時,再生產1噸,利潤將增加14000元;當月產量為10噸時,再生產1噸,則利潤將增加1萬元;當月產量為15噸時,再生產1噸,利潤則不會增加;當月產量為20噸時,再生產1噸,利潤反而減少1萬元。實際上,該題的邊際利潤函數L'(Q)=-2Q+30在Q>15時小于0,所以利潤函數是單調減少的,隨著產量的增加,利潤將減少。顯然,該企業不能完全依靠增加產量來提高利潤,搞得不好,還會造成生產越多,虧損越大的局面。那么保持怎樣的產量才能使該企業獲得最大利潤呢?由微觀經濟學的知識可知:在該題中當R'(Q)=C'(Q),即L'(Q)=0,Q=15時,也就是該企業把月產量定在15噸,此時的總利潤最大為:L(15)=-152+30×15-20=205(萬元)。
2、彈性分析
彈性概念是經濟學中的另一個重要概念,用來定量地描述一個經濟變量對另一個經濟變量變化的反應程度?;蛘哒f,一個經濟變量變動百分之一會使另一個經濟變量變動百分之幾。
(1)彈性的定義。設函數y=f(x)在點x處可導,函數的相對改變量與自變量的相對改變量之比,當?駐x0時的極限稱為函數y=f(x)在點處的相對變化率,或稱為彈性函數。記為Ex=f'(x)。
(2)需求價格彈性的概念。經濟學中,把需求量對價格的相對變化率稱為需求的價格彈性。記為E=Q'(P)。由于需求函數是價格的遞減函數,所以需求彈性E一般為負值。其經濟意義為:當某種商品的價格下降(或上升)1%時,其需求量將增加(或減少)|E|%。當E=-1(即|E|=1)時,稱為單位彈性。即商品需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等,例如報紙。當E1)時,稱為富有彈性。即商品需求量的相對變化大于價格的需求變化,此時價格的變化對需求量的影響較大。換句話說,適當降價會使需求量有較大幅度上升,從而增加收入。例如空調、汽車等高檔生活用品,包括旅游和專業服務等。需求富有彈性的商品價格下降而總收益增加,就是我們一般所說的“薄利多銷”的原因所在?!氨±本褪墙祪r,降價能“多銷”, “多銷”則會增加總收益,所以,能夠作到薄利多銷的商品是需求富有彈性的商品。需求富有彈性的商品價格上升而總收益減少,說明了這類商品如果調價不當,則會帶來損失。例如,1979年我國農副產品調價,豬肉上調20%左右,在當時我國人民的生活水平下,豬肉的需求富有彈性,豬肉漲價后人們的部分購買力轉向其他代用品,豬肉的需求量迅速下降。國家不得不將一些三、四級豬肉降價出售,加上庫存積壓,財政損失20多億;再加上農副產品提價后給職工的補助20多億,財政支出增加40多億。當-1
在商品經濟中,商品經營者關心的是提價(?駐p>0)或降價(?駐p
例如:(2004年考研題)設某商品的需求函數為Q=100-5P,其中價格P∈(0,20),Q為需求量。
①求需求量對價格的彈性E(E>0)。
②推導=Q(1-E)(其中R為收益),并用彈性E說明價格在何范圍內變化時,降低價格反而使收益增加。
解:①由Q=100-5P知Q'(P)=-50,所以:
E=×Q'=×(-5)==。
②由R=PQ得=Q+PQ'=Q(1+Q')=Q(1-E)。又由E==1,得P=10。于是,當10
總之,企業在制定或變動產品價格時,一定要考慮到自己產品需求價格彈性的大小,這樣才能更好地利用價格策略增強競爭力。
3、優化分析
最優化問題是經濟管理活動的核心,通常是利用函數的導數求經濟問題中的平均成本最低、總收入最大、總利潤最大等問題。例如:(1997年考研題)一商家銷售某種商品的價格滿足關系P=7-0.2x(萬元/噸),銷售量(單位:噸),商品的成本函數是C=3x+1(萬元)。
(1)若每銷售1噸商品,政府要征稅t(萬元),求該商家獲得最大利潤時的銷售量;
(2)t為何值時,政府稅收總額最大?
解:(1)設T為總稅額,則T=tx。商品銷售總收入為R=Px
=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利潤為L=R-C-T=7x-0.2x2-
3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求導,得L'=-0.4+4-t,L"=-0.4。令L'=0,解得x=(4-t)。
因為L"
(2)將x=(4-t)代入T=t,得T=t×=10t-t2。
由T'(t)=10-5t=0,得唯一駐點t=2,又T"(t)=-5
綜上所述,對企業經營者來說,對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將導數作為分析工具,可以給企業經營者提供精確的數值和新的思路和視角。
【參考文獻】
[1] 萬解秋:試論需求效用學說對我國價格制度改革的作用[J].世界經濟文匯,1985(4).
[2] 彭文學:經濟數學基礎[M].武漢:武漢大學出版社,1997.
關鍵詞:微積分;邊際分析;彈性;成本;收入;利潤;最大值;最小值
中圖分類號:O13文獻標識碼:A文章編號:1672-3198(2008)09-0139-02
1 導數在經濟分析中的應用
1.1 邊際分析在經濟分析中的的應用
1.1.1 邊際需求與邊際供給
設需求函數Q=f(p)在點p處可導(其中Q為需求量,P為商品價格),則其邊際函數Q'=f'(p)稱為邊際需求函數,簡稱邊際需求。類似地,若供給函數Q=Q(P)可導(其中Q為供給量,P為商品價格),則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數,簡稱邊際供給。
1.1.2 邊際成本函數
總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函數=(Q)=C(Q)Q;邊際成本函數C'=C'(Q).C'(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本,其經濟意義為:當產量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則成本將相應增減C''(Q0)個單位。
1.1.3 邊際收益函數
總收益函數R=R(Q);平均收益函數=(Q);邊際收益函數R'=R'(Q).
R'(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為:當銷售量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則收益將相應地增減R'(Q0)個單位。
1.1.4 邊際利潤函數
利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L'=L'(Q)=R'(Q)-C'(Q).L'(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤,其經濟意義是:當產量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則利潤將相應增減L'(Q0)個單位。
例1 某企業每月生產Q(噸)產品的總成本C(千元)是產量Q的函數,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元,求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。
解:每月生產Q噸產品的總收入函數為:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q+30
則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為
L'(10)=-2×10+30=10(千元/噸);
L'(15)=-2×15+30=0(千元/噸);
L'(20)=-2×20+30=-10(千元/噸);
以上結果表明:當月產量為10噸時,再增產1噸,利潤將增加1萬元;當月產量為15噸時,再增產1噸,利潤則不會增加;當月產量為20噸時,再增產1噸,利潤反而減少1萬元。
顯然,企業不能完全靠增加產量來提高利潤,那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢?
1.2 彈性在經濟分析中的應用
1.2.1 彈性函數
設函數y=f(x)在點x處可導,函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比,當Δx0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率,或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx.xy=f'(x)xf(x)
在點x=x0處,彈性函數值Ef(x0)Ex=f'(x0)xf(x0)稱為f(x)在點x=x0處的彈性值,簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處,當x產生1%的改變時,f(x)近似地改變EExf(x0)%。
1.2.2 需求彈性
經濟學中,把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。
對于需求函數Q=f(P)(或P=P(Q)),由于價格上漲時,商品的需求函數Q=f(p)(或P=P(Q))為單調減少函數,ΔP與ΔQ異號,所以特殊地定義,需求對價格的彈性函數為η(p)=-f'(p)pf(p)
例2 設某商品的需求函數為Q=e-p5,求(1)需求彈性函數;(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。
解:(1)η(p)=-f'(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6
η(5)=1,說明當P=5時,價格上漲1%,需求也減少1%,價格與需求變動的幅度相同。
η(6)=1.2>1,說明當P=6時,價格上漲1%,需求減少1.2%,需求變動的幅度大于價格變動的幅度。
1.2.3 收益彈性
收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積,即
R=PQ=Pf(p)
R'=f(p)+pf'(p)=f(p)(1+f'(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益彈性為EREP=R'(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
這樣,就推導出收益彈性與需求彈性的關系是:在任何價格水平上,收益彈性與需求彈性之和等于1。
(1) 若η0價格上漲(或下跌)1%,收益增加(或減少)(1-η)%;
(2) 若η>1,則EREP
(3) 若η=1,則EREP=0價格變動1%,收益不變。
1.3 最大值與最小值在經濟問題中的應用
最優化問題是經濟管理活動的核心,各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一,例如,在一定條件下,使成本最低,收入最多,利潤最大,費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。
1.3.1 最低成本問題
例3 設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px,(常數m>0,n>0,p>0),(1)問每批生產多少單位時,使平均成本最???(2)求最小平均成本和相應的邊際成本。
解:(1)平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C'=2mx-n
令C',得x=n2m,而C''(x)=2m>0。所以,每批生產n2m個單位時,平均成本最小。
(2)(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C'(x)=3mx2-2nx+p,C'(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相應的邊際成本。
1.3.2 最大利潤問題
例4 設生產某產品的固定成本為60000元,變動成本為每件20元,價格函數p=60-Q1000(Q為銷售量),假設供銷平衡,問產量為多少時,利潤最大?最大利潤是多少?
解:產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q
收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L'(Q)=-1500Q+40,令L'(Q)=0得Q=20000
L''(Q)=-1500
所以生產20000個產品時利潤最大,最大利潤為340000元。
2 積分在經濟中的應用
在經濟管理中,由邊際函數求總函數(即原函數),一般采用不定積分來解決,或求一個變上限的定積分;如果求總函數在某個范圍的改變量,則采用定積分來解決。
例5 設生產x個產品的邊際成本C=100+2x,其固定成本為C0=1000元,產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售,問生產量為多少時利潤最大?并求出最大利潤。
解:總成本函數為
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
總收益函數為R(x)=500x
總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L'=400-2x,令L'=0,得x=200,因為L''(200)
在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。
綜上所述,對企業經營者來說,對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具,不但可以給企業經營者提供精確的數值,而且在分析的過程中,還可以給企業經營者提供新的思路和視角,這也是數學應用性的具體體現。因此,作為一個合格的企業經營者,應該掌握相應的數學分析方法,從而為科學的經營決策提供可靠依據。
參考文獻
[1]聶洪珍,朱玉芳.高等數學(一)微積分[M].北京:中國對外經濟貿易出版社,2003,(6).
[2]顧霞芳.淺談導數在經濟中的應用[J].職業圈,2007,(4).
關鍵詞:微積分;邊際分析;彈性;成本;收入;利潤;最大值;最小值
1導數在經濟分析中的應用
1.1邊際分析在經濟分析中的的應用
1.1.1邊際需求與邊際供給
設需求函數Q=f(p)在點p處可導(其中Q為需求量,P為商品價格),則其邊際函數Q’=f’(p)稱為邊際需求函數,簡稱邊際需求。類似地,若供給函數Q=Q(P)可導(其中Q為供給量,P為商品價格),則其邊際函數Q=Q(p)稱為邊際供給函數,簡稱邊際供給。
1.1.2邊際成本函數
總成本函數C=C(Q)=C0+C1(Q);平均成本函數=(Q)=C(Q)Q;邊際成本函數C’=C’(Q).C’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際成本,其經濟意義為:當產量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則成本將相應增減C’’(Q0)個單位。
1.1.3邊際收益函數
總收益函數R=R(Q);平均收益函數=(Q);邊際收益函數R’=R’(Q).
R’(Q0)稱為當商品銷售量為Q0時的邊際收益。其經濟意義為:當銷售量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則收益將相應地增減R’(Q0)個單位。
1.1.4邊際利潤函數
利潤函數L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤函數;=(Q)邊際利潤函數L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱為當產量為Q0時的邊際利潤,其經濟意義是:當產量達到Q0時,如果增減一個單位產品,則利潤將相應增減L’(Q0)個單位。
例1某企業每月生產Q(噸)產品的總成本C(千元)是產量Q的函數,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產品銷售價格2萬元,求每月生產10噸、15噸、20噸時的邊際利潤。
解:每月生產Q噸產品的總收入函數為:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
則每月生產10噸、15噸、20噸的邊際利潤分別為
L’(10)=-2×10+30=10(千元/噸);
L’(15)=-2×15+30=0(千元/噸);
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/噸);
以上結果表明:當月產量為10噸時,再增產1噸,利潤將增加1萬元;當月產量為15噸時,再增產1噸,利潤則不會增加;當月產量為20噸時,再增產1噸,利潤反而減少1萬元。
顯然,企業不能完全靠增加產量來提高利潤,那么保持怎樣的產量才能使企業獲得最大利潤呢?
1.2彈性在經濟分析中的應用
1.2.1彈性函數
設函數y=f(x)在點x處可導,函數的相對改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對改變量Δxx之比,當Δx0時的極限稱為函數y=f(x)在點x處的相對變化率,或稱為彈性函數。記為EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx.xy=f’(x)xf(x)
在點x=x0處,彈性函數值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱為f(x)在點x=x0處的彈性值,簡稱彈性。EExf(x0)%表示在點x=x0處,當x產生1%的改變時,f(x)近似地改變EExf(x0)%。
1.2.2需求彈性
經濟學中,把需求量對價格的相對變化率稱為需求彈性。
對于需求函數Q=f(P)(或P=P(Q)),由于價格上漲時,商品的需求函數Q=f(p)(或P=P(Q))為單調減少函數,ΔP與ΔQ異號,所以特殊地定義,需求對價格的彈性函數為η(p)=-f’(p)pf(p)
例2設某商品的需求函數為Q=e-p5,求(1)需求彈性函數;(2)P=3,P=5,P=6時的需求彈性。
解:(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1,說明當P=3時,價格上漲1%,需求只減少0.6%,需求變動的幅度小于價格變動的幅度。
η(5)=1,說明當P=5時,價格上漲1%,需求也減少1%,價格與需求變動的幅度相同。η(6)=1.2>1,說明當P=6時,價格上漲1%,需求減少1.2%,需求變動的幅度大于價格變動的幅度。
1.2.3收益彈性
收益R是商品價格P與銷售量Q的乘積,即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
這樣,就推導出收益彈性與需求彈性的關系是:在任何價格水平上,收益彈性與需求彈性之和等于1。
(1)若η<1,則EREP>0價格上漲(或下跌)1%,收益增加(或減少)(1-η)%;
(2)若η>1,則EREP<0價格上漲(或下跌)1%,收益減少(或增加)|1-η|%;
(3)若η=1,則EREP=0價格變動1%,收益不變。
1.3最大值與最小值在經濟問題中的應用
最優化問題是經濟管理活動的核心,各種最優化問題也是微積分中最關心的問題之一,例如,在一定條件下,使成本最低,收入最多,利潤最大,費用最省等等。下面介紹函數的最值在經濟效益最優化方面的若干應用。
1.3.1最低成本問題
例3設某廠每批生產某種產品x個單位的總成本函數為c(x)=mx3-nx2+px,(常數m>0,n>0,p>0),(1)問每批生產多少單位時,使平均成本最?。浚?)求最小平均成本和相應的邊際成本。
解:(1)平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n
令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生產n2m個單位時,平均成本最小。
(2)(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相應的邊際成本。
1.3.2最大利潤問題
例4設生產某產品的固定成本為60000元,變動成本為每件20元,價格函數p=60-Q1000(Q為銷售量),假設供銷平衡,問產量為多少時,利潤最大?最大利潤是多少?
解:產品的總成本函數C(Q)=60000+20Q
收益函數R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
則利潤函數L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000時L最大,L(2000)=340000元
所以生產20000個產品時利潤最大,最大利潤為340000元。
2積分在經濟中的應用
在經濟管理中,由邊際函數求總函數(即原函數),一般采用不定積分來解決,或求一個變上限的定積分;如果求總函數在某個范圍的改變量,則采用定積分來解決。
例5設生產x個產品的邊際成本C=100+2x,其固定成本為C0=1000元,產品單價規定為500元。假設生產出的產品能完全銷售,問生產量為多少時利潤最大?并求出最大利潤。
解:總成本函數為
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
總收益函數為R(x)=500x
總利潤L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因為L’’(200)<0。所以,生產量為200單位時,利潤最大。最大利潤為L(200)=400×200-2002-1000=39000(元)。
在這里我們應用了定積分,分析出利潤最大,并不是意味著多增加產量就必定增加利潤,只有合理安排生產量,才能取得總大的利潤。
綜上所述,對企業經營者來說,對其經濟環節進行定量分析是非常必要的。將數學作為分析工具,不但可以給企業經營者提供精確的數值,而且在分析的過程中,還可以給企業經營者提供新的思路和視角,這也是數學應用性的具體體現。因此,作為一個合格的企業經營者,應該掌握相應的數學分析方法,從而為科學的經營決策提供可靠依據。
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