三角函數(shù)值規(guī)律精選(五篇)

序言：作為思想的載體和知識(shí)的探索者，寫(xiě)作是一種獨(dú)特的藝術(shù)，我們?yōu)槟鷾?zhǔn)備了不同風(fēng)格的5篇三角函數(shù)值規(guī)律，期待它們能激發(fā)您的靈感。

篇1

關(guān)鍵詞：直角三角形；邊角關(guān)系

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的邊角關(guān)系，在現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用非常廣泛。而銳角的三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有著重要的作用，如測(cè)量距離、角度、高度等問(wèn)題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數(shù)值也是經(jīng)常用到的，但許多學(xué)生在應(yīng)用這些特殊角的三角函數(shù)值解決問(wèn)題時(shí)，卻總是出現(xiàn)記憶不牢靠或者張冠李戴的現(xiàn)象，如何讓學(xué)生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數(shù)值呢？我覺(jué)得可以從以下幾個(gè)方面去加強(qiáng)。

一、引入圖形，讓學(xué)生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關(guān)系，因此，教學(xué)時(shí)為了便于學(xué)生理解和記憶，可以根據(jù)含這些特殊角的三角形的邊角之間的關(guān)系，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如30度角所對(duì)的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學(xué)生自己獨(dú)立完成這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，學(xué)生根據(jù)定義，便可得到各角的三角函數(shù)值，學(xué)生經(jīng)歷了特殊角的三角函數(shù)值的求值過(guò)程，由于圖形的直觀作用，必然會(huì)產(chǎn)生清晰的第一印象，方便了記憶。

二、利用三角函數(shù)的增減規(guī)律進(jìn)行記憶

在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一旦確定，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當(dāng)銳角的度數(shù)發(fā)生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發(fā)生變化，為了幫助學(xué)生探索并理解隨著銳角度數(shù)的增大或減小，它對(duì)應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值變化的規(guī)律，可設(shè)計(jì)有公共銳角頂點(diǎn)且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過(guò)圖形，學(xué)生會(huì)直觀的感受到，當(dāng)銳角的度數(shù)逐漸增大，它所對(duì)的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會(huì)很自然地得出結(jié)論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數(shù)的增減性，學(xué)生記憶這幾個(gè)特殊角的三角函數(shù)值就會(huì)容易許多。

三、尋找數(shù)字規(guī)律巧妙記憶

在記憶30度、45度、60度角的三角函數(shù)值時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比較，尋找數(shù)字規(guī)律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對(duì)應(yīng)為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關(guān)系，及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過(guò)比較與聯(lián)系記憶。

篇2

1. 概念理解不透徹

例1 在RtABC中，各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大3倍，那么銳角A的三角函數(shù)值（ ）.

A. 都擴(kuò)大3倍 B. 都擴(kuò)大4倍

C. 不能確定 D. 沒(méi)有變化

【錯(cuò)解】A.

【分析】三角形三邊都擴(kuò)大3倍后的三角形與原三角形相似，所以直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值不變. 錯(cuò)解沒(méi)有真正理解三角函數(shù)的概念.

【正解】D. 三角函數(shù)的值是直角邊與斜邊或直角邊與直角邊的比值，大小只與角的度數(shù)有關(guān)，與邊的大小無(wú)關(guān).

2. 忽視求三角函數(shù)的限制條件

例2 （2012?江西內(nèi)江）如圖1，ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為（ ）.

A. B.

C. D.

【分析】在本題的解答過(guò)程中，根據(jù)sinA=，部分同學(xué)會(huì)錯(cuò)誤地得出sinA=，導(dǎo)致結(jié)果與選項(xiàng)不符，要么隨便選一個(gè)，降低了正確率，要么開(kāi)始重新審題，浪費(fèi)了寶貴的考試時(shí)間. 這個(gè)錯(cuò)誤的根源在于沒(méi)有真正理解正弦的概念，沒(méi)有掌握銳角三角函數(shù)的使用條件：在直角三角形中. 因此本題需先尋找∠A所在的直角三角形，而圖中∠A所在的ABC并不是直角三角形，這就需要添加輔助線，構(gòu)造直角三角形. 如圖1，連接CD，得到CDAB，sinA===.

在斜三角形中求三角函數(shù)值時(shí)往往需要作高（形內(nèi)或者形外）構(gòu)造直角三角形.

3. 忽視分類(lèi)討論

例3 RtABC的兩條邊分別是6和8，求其最小角的正弦值.

【錯(cuò)解】6和8是直角三角形的兩邊，斜邊是10，最小角的正弦值是.

【分析】已知條件中并沒(méi)有指明6和8是兩條直角邊，所以本題應(yīng)分兩種情況：

（1） 6和8是兩條直角邊；

（2） 6是直角邊，8是斜邊.

很多同學(xué)錯(cuò)在忽視了第2種情況.

【正解】當(dāng)6和8是兩條直角邊時(shí)，斜邊是10，所以最小角的正弦值是.

當(dāng)6是直角邊，8是斜邊時(shí)，則另一直角邊是=2，所以最小角的正弦值是=. 綜上可知，最小角的正弦值是或.

4. 忽視銳角三角函數(shù)的范圍

例4 已知α為銳角，4tan2α-3=0，求tanα.

【錯(cuò)解】4tan2α-3=0，tan2α=，

tanα=±.

【分析】銳角三角函數(shù)值等于相應(yīng)直角三角形的邊的比，所以tanα>0.

【正解】4tan2α-3=0，tan2α=，tanα=

±. tanα>0，tanα=.

銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，在求解時(shí)不能忘記.

5. 混淆特殊角三角函數(shù)值的變化規(guī)律

例5 銳角α滿(mǎn)足

A. 30°

C. 45°

【錯(cuò)解】A.

【分析】正弦值與正切值都隨銳角度數(shù)的增大而增大，而余弦值是隨銳角度數(shù)的增大而減小. 本題錯(cuò)在沒(méi)有準(zhǔn)確掌握特殊角的三角函數(shù)，將特殊角的三角函數(shù)值張冠李戴，混淆了銳角的正弦值、余弦值的變化規(guī)律.

【正解】cos60°=，cos45°=，又余弦值隨銳角度數(shù)的增大而減小，cos60°

在銳角范圍內(nèi)，正弦與正切可以看成是單調(diào)遞增函數(shù)，即度數(shù)大三角函數(shù)值就大；而余弦正好相反.

6. 主觀臆斷

例6 在RtABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，則sin=______.

【錯(cuò)解】sinA===，

sin=.

【分析】本題錯(cuò)在將∠A的一半的正弦值看作是∠A的正弦的一半，兩者顯然不等. 如sin60°=，而sin30°=. 本題正確的解法是先求出∠A的度數(shù)，然后再求其正弦值.

【正解】sinA===，

∠A=60°，∠A=30°. sin=.

求一個(gè)角一半的三角函數(shù)值，應(yīng)先求出這個(gè)角的度數(shù)，然后再求其三角函數(shù)值，一定不能用三角函數(shù)值的一半作為角的一半的三角函數(shù)值.

篇3

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù) 教材分析 教學(xué)建議

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)有了一定的認(rèn)識(shí)。三角函數(shù)是學(xué)生遇到的第一個(gè)周期性函數(shù)，是中等教育階段最后一個(gè)基本初等函數(shù)。學(xué)完本章以后，學(xué)生應(yīng)對(duì)函數(shù)的一般內(nèi)容，如函數(shù)符號(hào)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等建立更完整的認(rèn)識(shí)。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中已有銳角的三角函數(shù)的概念，但沒(méi)有將其作為一種函數(shù)來(lái)教學(xué)，關(guān)注的只是三角函數(shù)值，主要利用銳角三角函數(shù)的定義解決直角三角形中有關(guān)邊角的問(wèn)題。到了中職教育階段，需要從函數(shù)的角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，落實(shí)大綱中與三角函數(shù)部分相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容與要求。

本章首先對(duì)角的概念進(jìn)行推廣，并通過(guò)弧度制對(duì)角的度量建立角與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為學(xué)生理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)奠定基礎(chǔ)；為了角的概念推廣的需要，把角放到平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，不僅建立了角的大小與終邊位置的關(guān)系，而且通過(guò)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義任意角的三角函數(shù)，并利用角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的正負(fù)直觀性，判斷三角函數(shù)值的符號(hào)，得到特殊角的三角函數(shù)值，建立同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式；借助三角函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式幫助學(xué)生從“形”與“數(shù)”兩方面理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的變化規(guī)律；最后利用計(jì)算器及誘導(dǎo)公式，能由已知三角函數(shù)值求出指定范圍的角。

本章內(nèi)容分為五個(gè)部分：角的概念推廣，弧度制，任意角三角函數(shù)的概念及相關(guān)公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，已知三角函數(shù)值求角。

《中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》建議本章設(shè)置18課時(shí)，其中新授部分16課時(shí)，復(fù)習(xí)部分2課時(shí)。

《大綱》對(duì)本章知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求包括：4項(xiàng)“了解”（角的概念推廣、誘導(dǎo)公式、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)、已知三角函數(shù)值求指定范圍內(nèi)的角）；4項(xiàng)“理解”（弧度制，任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)）；2項(xiàng)“掌握”（利用計(jì)算器求三角函數(shù)值及利用計(jì)算器求角度）。

本章可看作是第三章（函數(shù)）的延伸和拓展，在教學(xué)中要注意讓學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)與一般函數(shù)之間的關(guān)系，即個(gè)性與共性之間的關(guān)系。同時(shí)，在本章的教學(xué)中，要特別注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如突出“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。由于三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，所以教學(xué)中既要“以形助數(shù)”，突出幾何直觀幫助學(xué)生理解抽象概念，又要“以數(shù)助形”，通過(guò)代數(shù)性質(zhì)反映圖像的變化規(guī)律。再如，由銳角的三角函數(shù)值到任意角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)圖像上一點(diǎn)的作法到一個(gè)周期內(nèi)的圖像上的畫(huà)法乃至整個(gè)定義域上的圖像的畫(huà)法等都遵循了由特殊到一般的思維方法。學(xué)好余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的最有效的方法是與正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比。

下面，筆者對(duì)本章的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、教學(xué)探究、教學(xué)過(guò)程及例題處理等方面，分節(jié)給出教學(xué)建議。

一、5.1角的概念推廣（2課時(shí)）

在學(xué)習(xí)了角概念的基礎(chǔ)上，本節(jié)的學(xué)習(xí)將進(jìn)行角的概念推廣。在初中，角的定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，角的范圍是0°～360°。

為了研究的方便，常將角放在平面直角坐標(biāo)系中，一般將角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與X軸的正半軸重合。這樣對(duì)所有的角來(lái)說(shuō)，角的頂點(diǎn)、始邊是相同的，區(qū)別僅在終邊，而終邊的位置就決定了它是哪個(gè)象限的角。

銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角。

由“問(wèn)題解決”可歸納出一般的結(jié)論：

若α是第一象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第二象限角，則α/2是第一或第三象限角；若α是第三象限角，則α/2是第二或第四象限角；若α是第四象限角，則α/2是第二或第四象限角。

二、5.2弧度制（1課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中學(xué)習(xí)的角度制基礎(chǔ)上進(jìn)行的。首先要引導(dǎo)學(xué)生回顧角度制的規(guī)定：一個(gè)周角的1/360叫做一度。

在此基礎(chǔ)上通過(guò)多種形式的教學(xué)活動(dòng)使學(xué)生理解：弧度制是一種新的度量角的單位制。一個(gè)角的弧度數(shù)就是這個(gè)角（以角的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑的圓的圓心角）所對(duì)弧的長(zhǎng)度與半徑的比值，關(guān)鍵是要掌握弧度與角度換算的基本關(guān)系式：360°=2π（rad）或180°=π（rad）。

三、5.3任意角的三角函數(shù)（2課時(shí)）

本節(jié)的學(xué)習(xí)是在初中角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)等概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。在初中，學(xué)生是通過(guò)直角三角形邊的比值來(lái)規(guī)定角的三角函數(shù)值：對(duì)于一個(gè)直角三角形的銳角，其正弦值為對(duì)邊與斜邊的比值，余弦值為鄰邊與斜邊的比值，正切值為對(duì)邊與鄰邊的比值。現(xiàn)在對(duì)任意角，分別用三個(gè)比值y/r、x/r、y/x來(lái)規(guī)定，它們都只與角的終邊所在位置有關(guān)，而與點(diǎn)P在角的終邊上的具置無(wú)關(guān)。

從“問(wèn)題解決”中，我們可以得出結(jié)論：

一個(gè)角的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于這個(gè)角的正弦；與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就等于這個(gè)角的余弦；與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值就等于這個(gè)角的正切。

由討論可知，對(duì)于任意角α，它的正弦、余弦都有意義（因?yàn)閞>0），但正切不同（因?yàn)閠anα=y/x，x有可能為0），只有當(dāng)x≠0，即角α的終邊不在y軸上才有意義。因此，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是R，正切函數(shù)的定義域是{α|α≠π/2+kπ，k∈Z}。

要確定角α的三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，關(guān)鍵還應(yīng)從任意角的三角函數(shù)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形更容易掌握。

四、5.4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（2課時(shí)）

本教材是利用單位圓導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系的：角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就等于sinα，橫坐標(biāo)就等于cosα。由此就能得到sin2α+cos2α=1（稱(chēng)為平方關(guān)系）；再由正切的定義tanα=y/x，就可得到sinα/cosα=cosα（稱(chēng)為商數(shù)關(guān)系）。

由兩個(gè)基本關(guān)系式可知，一個(gè)角的正弦、余弦、正切函數(shù)值之間是相互關(guān)聯(lián)的。因此，已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值，就可利用基本關(guān)系式求出其余兩個(gè)三角函數(shù)值。

學(xué)習(xí)了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，除了可以解決已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值求其余三角函數(shù)值，還可以對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)。要啟發(fā)學(xué)生在解題的基礎(chǔ)上討論并總結(jié)化簡(jiǎn)的原則。

五、5.5三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（2課時(shí)）

根據(jù)終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，就能得到誘導(dǎo)公式1；根據(jù)單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)關(guān)系，就能得到誘導(dǎo)公式2、誘導(dǎo)公式3、誘導(dǎo)公式4。

要掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，關(guān)鍵是要掌握公式2、3、4的特點(diǎn)：函數(shù)名稱(chēng)不變，至于正負(fù)號(hào)，可以通過(guò)特殊化的辦法來(lái)確定。既然公式對(duì)任意角α都成立，那么，當(dāng)α是銳角時(shí)當(dāng)然也成立。當(dāng)α是銳角時(shí)，-α為第四象限角，其正弦、正切值為負(fù)，余弦值為正，因此，-α的正弦、余弦、正切就分別為-sinα、cosα和-tanα。公式3、4也是如此。

用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)值化為[0，π/2]內(nèi)的角的三角函數(shù)值，正確地化角和正確地運(yùn)用誘導(dǎo)公式是關(guān)鍵。

由“問(wèn)題解決”可知，誘導(dǎo)公式之間是有聯(lián)系的。如對(duì)于sin（π+α），我們可以作如下轉(zhuǎn)化：

sin（π+α）=sin[π-（-α）]=sin（-α）=-sinα.

分析例4時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生回顧：判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，一般都是從定義出發(fā)。在確認(rèn)了定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，接著就考察f（-x）的結(jié)果等于f（x）還是-f（x），進(jìn)而判定這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。

六、5.6正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（3課時(shí)）

用正弦線作正弦曲線的好處是不需要計(jì)算角的正弦值，實(shí)際就是把正弦線平移到相應(yīng)角的位置。這里要特別注意在坐標(biāo)系里橫軸、縱軸的單位必須一致，同時(shí)注意曲線的走向，[0，π]是向上凸的，[π，2π]是向下凹的。“五點(diǎn)法”作正弦曲線，實(shí)際就是列表描點(diǎn)法。這里的五個(gè)點(diǎn)分別是曲線與x軸的交點(diǎn)和最高點(diǎn)及最低點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)的間隔是π/2。

無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到曲線上的一些點(diǎn)，再用光滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后就要把握好正弦曲線的形狀和特征，能迅速畫(huà)出正弦曲線的草圖。

由教材P152的“思考交流”所得結(jié)論，我們可以進(jìn)一步推廣：y=-f（x）的圖像，與y=f（x）的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，y=f（x）+1的圖像，可以由y=f（x）的圖像向上平移一個(gè)單位而得到。

無(wú)論是單位圓中角在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中正弦線的變化規(guī)律，還是由誘導(dǎo)公式1，均能得出正弦函數(shù)的圖像是呈“周而復(fù)始”的規(guī)律的。結(jié)合周期函數(shù)的定義和對(duì)周期的規(guī)定，由“探究”所得結(jié)論可知，正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，它的周期為2kπ，k∈Z，最小正周期為2π。

要判斷一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，通常是按照定義，尋找非零常數(shù)T，滿(mǎn)足f（x+T）=f（x）。由于已約定，在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下，我們所說(shuō)的周期都是最小正周期。因此，在找到這樣的常數(shù)T之后，還要再找出其中的最小正數(shù)。

由于正弦函數(shù)y=sinx的周期為2π，也就是說(shuō)其圖像每經(jīng)過(guò)2π就重復(fù)，因此，要討論正弦函數(shù)的單調(diào)性，只需選取長(zhǎng)度為2π的區(qū)間即可。

解決了例3后，可啟發(fā)學(xué)生總結(jié)：遇到出現(xiàn)含有正弦式的等式，求其他量的范圍問(wèn)題時(shí)，通常是把正弦式放在等式的一側(cè)，其余的放在另一側(cè)。由于sinx的取值范圍是[-1，1]，等式另一側(cè)表達(dá)式的取值范圍也就是[-1，1]，這樣就可求出其他量的范圍。

不求值比較兩個(gè)角的正弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的正弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。

七.5.7余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)（2課時(shí)）

本節(jié)的教學(xué)過(guò)程中要充分運(yùn)用好類(lèi)比法，利用上一節(jié)研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的類(lèi)似方法來(lái)研究余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

與畫(huà)正弦線類(lèi)似，我們要畫(huà)出余弦函數(shù)y=cosx圖像上的點(diǎn)（x，cosx）。但余弦線不像正弦線那樣是“豎立”的。從畫(huà)圖的角度來(lái)說(shuō)，得到每一個(gè)角的余弦線后，用圓規(guī)還是可以把它移到相應(yīng)的位置使它“立”起來(lái)的，但這樣做比較麻煩。用教材P157上的圖5-23，就能達(dá)到使它“立”起來(lái)的效果，這樣畫(huà)圖就比較方便。

無(wú)論是幾何法還是“五點(diǎn)法”，都是為了找到余弦函數(shù)y=cosx圖像上的一些點(diǎn)，再用平滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來(lái)。熟練之后把握好余弦曲線的形狀和特征，就能迅速畫(huà)出余弦曲線的草圖。

仔細(xì)觀察教材P159的“思考交流”中的圖5-28，我們可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

類(lèi)比正弦函數(shù)的性質(zhì)，很容易得到余弦函數(shù)的前三個(gè)性質(zhì)，對(duì)照正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦函數(shù)的定義域、值域、周期沒(méi)有變化，最大的區(qū)別在于奇偶性（是偶函數(shù)）、單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間不同）和最大值最小值（取得最大值最小值的自變量不同）。如此類(lèi)同的根本原因，可以從幾何上得到解釋?zhuān)河嘞液瘮?shù)y=cosx的圖像，可以由正弦函數(shù)y=sinx的圖像向左平移π/2個(gè)單位得到。

不求值比較兩個(gè)角的余弦值的大小時(shí)，關(guān)鍵是用好誘導(dǎo)公式把問(wèn)題化為在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)角的余弦，再根據(jù)單調(diào)性來(lái)確定它們的大小。

對(duì)于例3，解決時(shí)要有整體意識(shí)，即把x/3看作一個(gè)角，為了方便，用換元法，設(shè)t=x/3，由t=2kπ，就能得到x/3=2kπ，從而得到x=6kπ。最后還須注意把所得結(jié)果寫(xiě)成集合形式。

八、5.8已知三角函數(shù)值求角（2課時(shí)）

為了解決有關(guān)已知三角函數(shù)值求角的問(wèn)題，學(xué)生需要具備良好的基礎(chǔ)。為此，教師要組織同學(xué)一起回顧本章前面所學(xué)的知識(shí)，特別是誘導(dǎo)公式，各個(gè)象限的三角函數(shù)值的符號(hào)以及特殊角的三角函數(shù)值等。

篇4

1.定義的掌握與運(yùn)用。初中三角函數(shù)的定義是借助直角三角形在銳角中定義的，而高中是借助單位圓給出的，初學(xué)者應(yīng)對(duì)這兩個(gè)定義進(jìn)行相對(duì)比較，感受單位圓的重要性，為后面直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。在掌握概念的同時(shí)應(yīng)初步學(xué)會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)的定義解題，例如：根據(jù)角的終邊所處的位置能迅速的判斷出此角的正弦、余弦、正切的符號(hào)以及已知終邊上的一點(diǎn)的坐標(biāo)能求出三角函數(shù)的正弦、余弦、及正切值。

2. 三角函數(shù)線的應(yīng)用。三角函數(shù)線是研究三角函數(shù)的幾何工具，它是數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的體現(xiàn)，初學(xué)者應(yīng)熟練掌握正弦線、余弦線、正切線的作法，并能運(yùn)用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小，證明三角不等式，和解一些簡(jiǎn)單的三角不等式。

3.特殊角三角函數(shù)值的記憶。記一些特殊角的三角函數(shù)值，即的正弦值、余弦值、正切值，其它的一些特殊角的三角函數(shù)值可以用這些值通過(guò)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)出。

4.公式的推導(dǎo)型記憶。三角函數(shù)的公式是令初學(xué)者最頭痛的事情，有同角三角函數(shù)之間關(guān)系，誘導(dǎo)公式，兩角和與差的三角函數(shù)展開(kāi)式，倍角公式，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中有些老師還會(huì)補(bǔ)充一些公式，如半角公式，積化和差與和差化積公式，萬(wàn)能公式。為方便憶有些老師在誘導(dǎo)公式里還給大家總結(jié)出一些口訣，如“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”、“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”、“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，接觸口訣之初，學(xué)生如獲珍寶，但過(guò)一段時(shí)間后，就混為一談，不知所云，變什么、看哪個(gè)象限都很模糊，簡(jiǎn)直就是一頭霧水。在此，筆者是不主張硬記和找規(guī)律記憶的，筆者鼓勵(lì)初學(xué)者應(yīng)該進(jìn)行推導(dǎo)型記憶，三角函數(shù)的公式看起來(lái)多而雜，其實(shí)不然，它們都是可以相互推導(dǎo)的，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系是用定義推導(dǎo)的，誘導(dǎo)公式是在單位圓中推導(dǎo)的，兩角和與差的三角函數(shù)展開(kāi)式除兩角差的余弦公式外，其它的都是由兩角差的余弦公式推導(dǎo)的，推導(dǎo)過(guò)程課本上是有的，筆者建議在記憶公式時(shí)，初學(xué)者應(yīng)該立足于推導(dǎo)，并且是自己推導(dǎo)、反復(fù)推導(dǎo)，真正體會(huì)公式之間的聯(lián)系，這樣記憶的公式才是永久的，處理題目時(shí)就會(huì)信手拈來(lái)，活學(xué)巧用。

5.三角函數(shù)圖象的掌握。熟練掌握正弦、余弦、正切函數(shù)圖象的畫(huà)法，能通過(guò)圖象能夠看出三角函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用圖象比較同名三角函數(shù)值的大小和解一些簡(jiǎn)單的三角不等式。

篇5

1、簡(jiǎn)單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用"單位圓定義法"，對(duì)于任意角?，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即角 （弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y──正弦；角 （弧度）對(duì)應(yīng)于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x──余弦。可以得到非常清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡(jiǎn)單的。另外，"x= cos ?，y= sin ?是單位圓的自然的動(dòng)態(tài)（解析）描述，由此可以想到，正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱(chēng)性）的解析表述"，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角?每隔2π（圓周長(zhǎng)）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來(lái)的位置），非常直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性。

"終邊定義法"需要經(jīng)過(guò)"取點(diǎn)──求距離──求比值"等步驟，對(duì)應(yīng)關(guān)系不夠簡(jiǎn)潔；"比值"作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； "從角的集合到比值的集合"的對(duì)應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的"數(shù)集到數(shù)集"的對(duì)應(yīng)關(guān)系不一致，而且"比值"需要通過(guò)運(yùn)算才能得到，任意一個(gè)角所對(duì)應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)）也需要證明；"比值"的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過(guò)推理才能得到．以往的教學(xué)實(shí)踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對(duì)三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不甚了了，與"終邊定義法"的這些問(wèn)題不無(wú)關(guān)系。

2、有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)。"單位圓定義法"以單位圓為載體，自變量?與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。

在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，學(xué)生對(duì)引進(jìn)弧度制的必要性較難理解。

"單位圓定義法"可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來(lái)度量角，這時(shí)角度和半徑長(zhǎng)度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來(lái)理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)） 被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cos ，sin )。 轉(zhuǎn)貼于

3、符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史。三角函數(shù)發(fā)展史表明，任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運(yùn)動(dòng)的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱(chēng)為"圓函數(shù)"。所以，采用"單位圓定義法"能更真實(shí)地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程。

早在古希臘時(shí)代，人們就知道"相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例"，這是三角函數(shù)的根源，也是其本質(zhì)所在，所以三角函數(shù)起源于幾何中的邊角關(guān)系。三角函數(shù)的本質(zhì)是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的，其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。到了近代，人們將三角函數(shù)作為一般的函數(shù)來(lái)研究它們的代數(shù)性質(zhì)。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮無(wú)窮級(jí)數(shù)或微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。映射也是貫穿高中數(shù)學(xué)的一條主線，是人們思考問(wèn)題時(shí)一種非常重要的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

4、有利于后續(xù)學(xué)習(xí)。前已述及，"單位圓定義法"使三角函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面討論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像奠定了很好的直觀基礎(chǔ)。不僅如此，這一定義還能為"兩角和與差的三角函數(shù)"的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便，因?yàn)楹停ú睿┙枪綄?shí)際上是"圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性"的解析表述，和（差）化積公式也是圓的反射對(duì)稱(chēng)性的解析表述。另外，這一定義中角的度量直接采用了弧度制，能為微積分的學(xué)習(xí)帶來(lái)方便。例如，重要極限 幾乎就是定義的一個(gè)"推論"。