發布時間:2023-10-11 15:53:32
序言:作為思想的載體和知識的探索者,寫作是一種獨特的藝術,我們為您準備了不同風格的5篇函數最值的應用,期待它們能激發您的靈感。
1.構造復數法
根據所給函數表達式的特點,把它與復數聯系起來,再通過復數的性質來確定最值。如復數a+bi的模為■,若函數表達式中一些項形如■時可考慮構造相關復數。某些三角函數式實質上可以看成幾個復數的模的和或差,因此,求這樣的式子的最值可以轉化為求復數的模的最值問題。根據三角問題的條件、結構,找出與復數知識的溝通點,明確解題方向,然后利用復數的模,將題設對照復數模的形式,結合模的性質構造復數。
例1:求函數f(x)=■+■的最值。
解:原函數可改寫為:
f(x)=■+■,
顯然當sinx=-1時,f(x)max=■+■,
下面求其最小值,可構造兩個復數:z1=(1-2sinx)+2i,z2=2sinx+i,
則f(x)=|z1|+|z2|;|z1+z2|=|1+3i|=■,
由不等式|z1|+|z2|≥|z1+z2|=■當且僅當■=■時取等號,即當sinx=■時,f(x)min=■。
2.利用立體幾何圖形法
根據約束條件和所求量的幾何意義構造幾何模型,再通過圖象來確定最值。
有些三角函數問題蘊含著豐富的幾何直觀性,若能“以數思形”,進行“數形聯想”,就可以通過構造圖形并研究圖形的幾何性質來達到求最值的目的。給出函數表達式求最值時,應該考查表達式和約束條件有什么幾何意義,把代數條件及函數表達式分別做出幾何解釋,為題中所給定的代數值選取適當的幾何量,根據題意來設計圖形的大小和位置關系,通過幾何學構造圖形,使題目圖形化,借助于圖形的直觀性來揭示函數的最值。此外,這種化抽象為具體、數形滲透的做法,往往還可以減少復雜的推導。
例2:若α、β、γ均為銳角,滿足sin2α+sin2β+sin2γ=1,求y=cotαcotβcotγ的最小值。
分析:sin2α+sin2β+sin2γ=1可構成一條對角線為1的長方體,將已知函數轉化為立體幾何圖形上。
解:如右圖,設長方體AC1的對角線B1D=1,∠BB1D=α,∠A1B1D=β,∠C1B1D=γ。
則有sin2α+sin2β+sin2γ=1。
設長方體的三邊長為a、b、c,則
y=cotαcotβcotγ
=■■■
≥■=2■,
即ymin=2■。
二、總結
在新課程標準下更多地強調學生用數學的眼光從生活中捕捉數學問題,主動地運用數學知識分析生活現象,自主地解決生活中的實際問題。因此,數學教學應該將課堂與生活緊密聯系起來,體現數學來源于生活、寓于生活、用于生活,引導學生把數學知識運用到學生的生活實際中去體驗感受,使學生充分認識到數學既來源于生活,又是解決生活問題的基本工具,達到數學課堂教學生活化的目的。
參考文獻:
1.趙裕民.用數學思想方法探求三角函數的最值例談.數學通訊,1996.9:11-13.
2.劉艷玲.求函數最值的初等方法.菏澤師專學院,1999(21):98-100.
三角函數的最值問題是三角函數性質的一個重要內容,是學習高等數學和應用技術學科的基礎,又是解決生產實際問題的工具.因此,對三角函數最值的考查總是每年高考的一個熱點,題型有客觀題和主觀題,多數處在高考試卷解答題中的中檔題位置,也具有一定的靈活性和綜合性.
重點難點
求三角函數的最值問題就是通過適當的三角變換或代數換元,化歸為基本類型的三角函數或代數函數,利用三角函數的有界性或常用的求函數最值的方法來處理;還可以通過數形結合利用三角函數的圖象或其他幾何意義求解.
重點:明確三角函數的最值的常見類型和處理方法,能運用轉化思想,通過變形、換元等方法熟練地求解三角函數的值域和最值.
難點:三角函數的最值都是在給定區間上取得的,因而特別要注意題設中所給出的角的取值范圍,還要注意弦函數的有界性. 含參數三角函數的最值的分類討論也是一個難點.
方法突破
三角函數的值域或最值的考查,一般有兩種形式:一種是化為一個角的三角函數的形式,如y=asin(ωx+φ)+k,要注意角的取值范圍的考慮;另一種是轉化為以某一三角函數為未知數的常見函數問題,如y=f(sinx),要注意數形結合思想的應用. 具體類型有:
關鍵詞:均值不等式 函數 最值 應用
均值不等式是高中數學不等式中的重要內容,均值不等式在求函數最值、解決一些取值范圍問題時運用非常廣泛,是歷年高考考查的重要知識點之一。在實際應用時,我們應因題而宜地進行變換,并注意等號成立的條件,達到解題的目的,變換題目所給函數的形式,利用熟悉知識求解是常用的解題技巧,熟練運用該技巧,對于提高思維的靈活性和嚴密性大有益處。
一、運用均值不等式時應注意事項
在解決這一類型的題時需要特別注意的是等號成立的條件,特別是遇到一些函數本身就有取值限制范圍時,需要根據函數合理存在的限制取值范圍再求函數的最值。
二、把所給函數巧妙轉化成均值不等式后求最值
這是一種比較難掌握的方法,因此運用此法需要具有扎實的基礎知識,敏銳的觀察力。下面舉兩個例子對此法加以介紹。
欲靈活應用此法,需要多練習,并在解題的過程中體會總結規律,達到孰能生巧,總之,遇到此類型的題,最重要的是需配出相應的形式。
三、結語
以上通過幾個實例簡單介紹了利用均值不等式求最值問題需要注意的一些事項,但對于具體題目,有時可能有多種解題方法,究竟如何求出函數合理的最值,還需要我們在教和學的實踐中不斷探索和總結。
參考文獻:
[1]王影.求函數值域的幾種常用方法.解題技巧與方法,2010.
[2]蔓,孫錳.妙用均值不等式求多元函數的最值.高中數學教與學,2010,(4).
[3]魏福軍.用均值不等式求最值須注意的幾點.中學生數學,2003,(1).
[4]徐麗聘.利用均值不等式求最值.求實篇――學習方法總結,2009,(9).
[5]劉新良,李慶社.十二種求函數值域的常用方法.高中生,2006,(18).
[6]高飛,朱傳橋.巧用均值不等式球最值.高中數學教與學,2007,(5).
誤區一:二次函數的頂點縱坐標為最大值
在二次函數的實際應用中,二次函數的頂點縱坐標并不一定為最大值,我們應具體問題具體分析,如下題:
例1.如下圖,某雞場要建一個矩形的養雞場ABCD,雞場的一邊靠墻,(墻長20米),另三邊用木欄圍成,木欄長100米,設AB=x米,矩形的面積為S平方米,那么x為多少時,S的值最大?
錯解:AB=x BC=100-2x
S=AB?BC=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250
a=-2
當x=25時,Smax=1250
正確解答:
AB=x BC=100-2x
S=AB?BC=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x-25)2+1250
由題意可得:0
解得:40≤x
a=-225
S隨x的增大而減小
當x=40時,Smax=-2(40-25)2+1250=800
點評:很多學生在學習中經常犯這樣的錯誤,他們認為利用二次函數求最大值,只要求出二次函數表達式,并將之化為頂點式,頂點縱坐標即為最大值,而沒有考慮自變量的取值范圍,此題中的頂點就不在自變量范圍內,因此最大面積就不會取到1250,又由于自變量x的范圍全部在對稱軸x=25左側,根據二次函數的增減性,我們可知當x=40時,S會有最大值。
誤區二:二次函數開口向上沒有最大值
例2.根據市場調查與預測,種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例關系,如圖(1)所示,種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系,如圖(2)所示(注:利潤與投資量的單位:萬元)。(1)分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式;(2)如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木,他至少獲得多少利潤?他能獲得的最大利潤是多少?
圖(1) 圖(2)
解:(1)設y1=kx(x≥0),設y2=ax2(x≥0)則由題意可得:
2=k,2=4a 解得:k=2,a=0.5 y1=2x,y2=0.5x2
(2)設這位專業戶種植樹木和花卉能獲得的利潤為w萬元,其中投資x萬元種植樹木,則投資(8-x)萬元種植花卉,由題意可得:w=y1+y2=2(8-x)+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5(x-2)2+14 a=0.5>0,當x=2時,wmin=140≤x≤8,在w=0.5(x-2)2+14中,當0≤x≤2時,w隨x的增大而減小,當x=0時,wmax=(0-2)2+14=16當2≤x≤8時,w隨x的增大而增大,當x=8時,wmax=(8-2)2+14=32 32>12,這位專業戶能獲得的最大利潤是32萬元。
點評:此題第(2)問,很多學生會說a=0.5,二次函數開口向上,應該沒有最大值,其實不然,本題中自變量x的取值范圍是0≤x≤8,在二次函數w=0.5(x-2)2+14對稱軸x=2左側(即當0≤x≤2時),由于w隨x的增大而減小,故當x=0時,w有最大值16;在對稱軸x=2右側(即當2≤x≤8時),w隨x的增大而增大,當x=8時,w有最大值32,通過比較16與32,我們得出最大值為32,此時自變量x=8。
總述:
關鍵詞: 最小二乘法 直線擬合 LINEST函數 應用
一、最小二乘法求直線擬合的原理
在大學物理實驗中,有不少直接從實驗的數據求某種物理規律的經驗方程即函數關系的問題,此類問題稱為方程的回歸問題。方程的回歸的首要問題就是確定函數形式,兩個物理量x、y之間存在:y=a+bx(1)的線性關系,如用自由下落物體測量重力加速度,在氣墊導軌上驗證牛頓第二定律,用拉脫法測量液體表面張力系數實驗中力敏傳感器的定標,等等,(1)式中a、b均為常數,且只有一個變量x,此類關系也稱為一元線性回歸。回歸的問題可以認為是用實驗數據來確定方程中的待定常數,即求解參數a、b。例如實驗測得的數據是x=x,x,…,x時,與之對應的y=y,y,…,y。假設x的誤差可以忽略,僅y具有相互獨立滿足正態分布的測量誤差,記作d,d,…,d。這樣,把實驗數據代入(1)式中,有:y=a+bx+dy=a+bx+d……y=a+bx+d(2),此方程由于未知數比方程數多,故不能直接求解,要想得到合理的a、b值,就要根據最小二乘原理,使y的殘差平方和RSS=?蒡(y-(a+bx))(3)為極小值。由=0和=0,分別可得?蒡(y-(a+bx))=0(4)和?蒡(y-(a+bx))x=0(5),聯立上式可得:a=(6),b=(7),進一步可得x和y的相關系數r:r==(8)。
二、LINEST函數的應用舉例
拉脫法測量液體表面張力系數實驗是大學物理實驗中的一個經典實驗。隨著實驗儀器的更新,傳統的焦利氏稱逐漸作簡便準確度更高的FD-NST-Ⅰ型液體表面張力系數測定儀所取代,實驗儀器如圖1所示。
在該實驗中,記下吊環即將拉斷液柱前一瞬間數字電壓表讀數值,拉斷時瞬間數字電壓表讀數U,便可依據公式f=(U-U)/b(9)測得液體表面張力f,(9)式中b為硅壓阻力敏傳感器的靈敏度。在力敏傳感器上分別加各種質量的砝碼,測出相應的電壓輸出值,結果見表1所示。
力敏傳感器為測力裝置,在拉力小于0.098N時,拉力和數字電壓表的輸出值成y=a+bx的線性關系,其中b為力敏傳感器的靈敏度。得到b值的過程我們稱為力敏傳感器的定標。在定標過程中需要用最小二乘法擬合儀器的靈敏度b,該計算很繁瑣,但根據誤差理論此方法最佳,我們可利用Excel軟件中的LINEST函數進行數據處理,方便簡潔不易出現錯誤。
打開Excel軟件,在A欄和B欄分別輸入數字電壓表的輸出值和砝碼對應的拉力數值,其中B欄數值的單位為N,如圖2。
選C、D欄為放計算結果的區間,鼠標點擊“插入”欄選擇“插入函數”,彈出“插入函數”二級界面后,在“或選擇類別”欄選擇“統計”,在“選擇函數欄”點擊LINEST函數,如圖3所示。
鼠標點擊確定后進入如圖4所示的界面,在Known_y’s欄輸入A1∶A7,在Known_x’s欄輸入B1∶B7,Const和Stats欄分別輸入true。
按Ctrl+Shift+Enter鍵,便得到了最小二乘法求直線擬合后的數據,如圖5所示。其中C1欄顯示為斜率,即經最小二乘法擬合后的儀器的靈敏度b,b=3.015×10mV/N。C3欄為擬合的線性相關系數r=0.9994。
三、結語
通過以上的實例分析可知,在大學物理實驗數據處理中,用傳統方法求解一元線性回歸方程的參數計算量大,容易出現錯誤,學生在處理數據時也易產生抵觸心理。合理利用Excel軟件中的LINEST函數進行數據處理,簡單方便,不失為最小二乘法求直線擬合的一種好方法。
參考文獻:
[1]楊述武.普通物理實驗(2版).北京:高等教育出版社,1993.3.